在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环R是符合一下接个要求的：
1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；
2、乘法满足结合律：(a * b)* c = a *(b * c)；
3、乘法对加法满足分配律：a *(b + c)= a * b + a * c，(a + b)* c = a * c + b * c；
如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：
4、乘法交换律：a * b = b * a。
如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”（integral domain）：
5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：e* a = a * e= a；
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。
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